【題目】在數列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*).
(1)求證:數列{an-1}是等比數列;
(2)若bn=nan,求數列{bn}的前n項和Tn.
【答案】(1)見解析;(2) 2-
【解析】
(1)由已知可得,2(an+1-1)=an-1,從而可證明數列{an-1}是等比數列;
(2)由(1)可求an,進而可求bn,然后利用分組求和,結合等差數列的求和公式及錯位相減求和方法即可求解.
解:(1)∵2an+1=an+1(n∈N*).
∴2(an+1-1)=an-1,
∵,
∴a1-1=且an-1≠0,
∴=,
∴數列{an-1}是以為首項,為公比的等比數列
(2)由(1)可得:an-1=,
∴an=
∴bn=nan=n,
∴Tn=()+(1+2+…+n),
令An=,
∴=…+(n-1)+n,
兩式相減可得,=,
==1-
∴An=2-2×-n=2-
∴Tn=2-
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【題目】已知函數,(,,)的部分圖像如圖所示.
(1)求函數的解析式及圖像的對稱軸方程;
(2)把函數圖像上點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位,得到函數的圖象,求關于x的方程在時所有的實數根之和.
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【題目】已知A(4,0)、B(1,0),動點M滿足|AM|=2|BM|.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)直線l:x+y=4,點N∈l,過N作軌跡C的切線,切點為T,求NT取最小時的切線方程.
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【題目】如今我們的互聯網生活日益豐富,除了可以很方便地網購,網絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一調查機構針對該市市場占有率最高的甲、乙兩家網絡外賣企業(yè)(以下簡稱外賣甲,外賣乙)的經營情況進行了調查,調查結果如表:
1日 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | |
外賣甲日接單(百單) | 5 | 2 | 9 | 8 | 11 |
外賣乙日接單(百單) | 2.2 | 2.3 | 10 | 5 | 15 |
(1)據統(tǒng)計表明,與之間具有線性相關關系.
(。┱堄孟嚓P系數加以說明:(若,則可認為與有較強的線性相關關系(值精確到0.001))
(ⅱ)經計算求得與之間的回歸方程為.假定每單外賣業(yè)務企業(yè)平均能獲純利潤3元,試預測當外賣乙日接單量不低于2500單時,外賣甲所獲取的日純利潤的大致范圍:(值精確到0.01)
(2)試根據表格中這五天的日接單量情況,從平均值和方差角度說明這兩家外賣企業(yè)的經營狀況.
相關公式:相關系數,
參考數據:
.
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【題目】某地區(qū)現有一個直角梯形水產養(yǎng)殖區(qū)ABCD,∠ABC=90°,AB∥CD,AB=800m,BC=1600m,CD=4000m,在點P處有一燈塔(如圖),且點P到BC,CD的距離都是1200m,現擬將養(yǎng)殖區(qū)ACD分成兩塊,經過燈塔P增加一道分隔網EF,在△AEF內試驗養(yǎng)殖一種新的水產品,當△AEF的面積最小時,對原有水產品養(yǎng)殖的影響最小.設AE=d.
(1)若P是EF的中點,求d的值;
(2)求對原有水產品養(yǎng)殖的影響最小時的d的值,并求△AEF面積的最小值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓C上一點,且PF2垂直于x軸,連結PF1并延長交橢圓于另一點Q,設=λ.
(1)若點P的坐標為(2,3),求橢圓C的方程及λ的值;
(2)若4≤λ≤5,求橢圓C的離心率的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系 中,橢圓 的中心為坐標原點,左焦點為F1(﹣1,0),離心率.
(1)求橢圓G 的標準方程;
(2)已知直線 與橢圓 交于 兩點,直線 與橢圓 交于 兩點,且 ,如圖所示.
①證明: ;
②求四邊形 的面積 的最大值.
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【題目】已知動點滿足: .
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與曲線交于兩點,點關于軸的對稱點為(點與點不重合),證明:直線恒過定點,并求該定點的坐標.
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【題目】已知函數,其中.是自然對數的底數.
(1)若曲線在處的切線方程為.求實數的值;
(2)① 若時,函數既有極大值,又有極小值,求實數的取值范圍;
② 若,.若對一切正實數恒成立,求實數的最大值(用表示).
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