Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，則λ=-1．

Answer 1

分析 S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），n=1時(shí)，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．代入a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），化為：c_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ．由于存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，化為：$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+（-1）ⁿλ＞0，對(duì)n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．．

解答 解：∵S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n∈N^*），
∴a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化為：2a_n=a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
變形為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴2ⁿa_n=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∵a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），
∴$\frac{n}{{2}^{n}}$（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn，
∴c_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
∵存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ，
化為：$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+（-1）ⁿλ＞0，
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，λ＜$（\frac{3}{2}）^{2k-2}$．
n=2k時(shí)，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{2k-1}$．
∴-$\frac{3}{2}$＜λ＜1．∵λ為非0整數(shù)．則λ=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．