Question

13．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)N（x，y）是平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤2\\ x≥\frac{1}{2}\\ y≥x\end{array}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y，作出題中不等式組表示的平面區(qū)域得到如圖的陰影部分，
將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)z=2x+y取得最小值，即為所求．

解答 解：∵M(jìn)（2，1），N（x，y），∴目標(biāo)函數(shù)z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y；
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{y≥x}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（1，1），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
設(shè)z=F（x，y）=2x+y，將直線l：z=2x+y進(jìn)行平移，
當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值；
∴z_最小值=F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，是基礎(chǔ)題目．