Question

16．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（ III）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AD⊥DC，PD⊥DC，從而CD⊥平面PAD，由此能證明面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與PB所成角的余弦值．
（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A-MC-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴AD⊥DC，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∵PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
解：（Ⅱ）∵四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點(diǎn)，
∴以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），
設(shè)直線AC與PB所成角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線AC與PB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（III）A（0，0，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），C（1，1，0），B（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設(shè)平面BCM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-b+\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設(shè)二面角A-MC-B的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．
∵二面角A-MC-B是鈍二面角，
∴二面角A-MC-B的余弦值為-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線線角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．