5.有以下四個(gè)命題:
①函數(shù)y=sin2x+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的最小值是2$\sqrt{3}$;
②已知f(x)=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$,則f(4)<f(3);
③定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),則f(2016)=0;
④y=loga(2+ax)(a>0,a≠1)在R上是增函數(shù).
其中真命題的序號(hào)是②③④.

分析 于①,∵sin2x=$\frac{3}{si{n}^{2}x}$時(shí),sin2x=3不可能,不滿足均值不等式的條件;
②,f(x)=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$=1+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$,則f(4)<1,f(3)>1;
③,定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)⇒T=2;
④,當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax 與y=ax都是減函數(shù),當(dāng)a>1時(shí),y=logax 與y=ax都是增函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定,y=loga(2+ax)(a>0,a≠1)在R上是增函數(shù).

解答 解:對(duì)于①,∵sin2x=$\frac{3}{si{n}^{2}x}$時(shí),sin2x=3不可能,不滿足均值不等式的條件,故錯(cuò);
對(duì)于②,f(x)=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$=1+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$,則f(4)<1,f(3)>1,故正確;
對(duì)于③,定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)⇒T=2,則f(2016)=f(0)=0,故正確;
對(duì)于④,當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax 與y=ax都是減函數(shù),當(dāng)a>1時(shí),y=logax 與y=ax都是增函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定,y=loga(2+ax)(a>0,a≠1)在R上是增函數(shù),故正確.
故答案為:②③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定,涉及到函數(shù)、不等式基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.

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