【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若有兩個零點,求實數(shù)的范圍;

(3)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,如果,且,證明: .

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.

【解析】試題分析: 求導(dǎo)即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,求導(dǎo)后分類討論當時、當時、當時、當時的情況,給出結(jié)果,求導(dǎo)證明可得,得證

解析:(1)根據(jù),

,解得,當變化時, , 的變化情況如下表:

遞減

遞增

∴函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;函數(shù)處取的極小值,無極大值.

(2)由,則,

時, ,易知函數(shù)只有一個零點,不符合題意,

時,在, 單調(diào)遞減;在, 單調(diào)遞增,又, ,當時, ,所以函數(shù)有兩個零點,

時,在, 單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減.又 ,所以函數(shù)至多一個零點,不符合題意,

時,在, 單調(diào)遞增,在, 單調(diào)遞減.

,所以函數(shù)至多一個零點,不符合題意,

時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多一個零點,不符合題意,

綜上,實數(shù)的取值范圍是.

(3)由, ,令,解得,當變化時, , 的變化情況如下表:

遞增

遞減

,不妨設(shè),根據(jù)結(jié)合圖象可知, ,

, ,則,∵, ,∴,則,∴單調(diào)遞增,又∵,∴時, ,即當時, ,則,

,∴,因,∴,∴,∵上是增函數(shù),∴,∴得證.

練習冊系列答案
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。

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組別

PM2.5平均濃度

頻數(shù)

頻率

第一組

(0,25]

3

0.15

第二組

(25,50]

12

0.6

第三組

(50,75]

3

0.15

第四組

(75,100]

2

0.1

(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中,隨機抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率;

(II)求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總計的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進?并說明理由.

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1)求;

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3)該農(nóng)家樂經(jīng)營多少年,其年平均獲利最大?年平均獲利的最大值是多少?(年平均獲利年總獲利

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