Question

16．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）
（Ⅰ）已知f（x）在R上存在唯一一個零點1，求a和b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在區(qū)間[0，1]上存在兩個零點，證明：a+|b|＞3．

Answer 1

分析 （I）令判別式等于零，且f（1）=0，列方程解出；
（II）根據(jù)零點范圍列出方程組，得出a，b的關系，利用不等式的性質求出a，b的范圍．

解答 解：（I）∵f（x）在R上存在唯一一個零點1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{^{2}-4a=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-2．
（II）∵f（x）在區(qū)間[0，1]上存在兩個零點，a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\\{△＞0}\\{0＜-\frac{2a}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1≥0}\\{^{2}-4a＞0}\\{0＜-\frac{2a}＜1}\end{array}\right.$，
由0$＜-\frac{2a}＜1$得-2a＜b＜0，∴b²＜4a²．
由b²-4a＞0得b²＞4a，
∴4a＜4a²，解得a＞1．
∴b²＞4a＞4，
又b＜0，∴b＜-2．即|b|＞2．
∴a+|b|＞3．

點評 本題考查了函數(shù)的零點，二次函數(shù)的性質，不等式的性質，屬于中檔題．