Question

11．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，則數(shù)列{b_n}的前32項(xiàng)的和為$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 通過(guò)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差可知a_n=3n+1，利用平方差公式、裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4、公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1，
∵b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}（\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}）}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），
故所求值為$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{3×32+4}}$）=$\frac{2}{15}$，
故答案為：$\frac{2}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，涉及平方差公式、裂項(xiàng)相消法等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．