Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，數(shù)列{b_n}的通項為b_n=f（n），且f（n）滿足：①f（1）=$\frac{1}{2}$；②對任意正整數(shù)m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件結(jié)合數(shù)列的遞推公式以及等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可．
（2）求出數(shù)列{a_nb_n}的通項公式，利用錯位相減法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+n-1}{2}$=n，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{1+1}{2}=1$滿足a_n=n，
即a_n=n．
∵對任意正整數(shù)m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n），
∴當(dāng)m=1時，f（1+n）=f（1）f（n）=$\frac{1}{2}$f（n），
即f（n）是公比q=$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，則b_n=f（n）=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
（2）a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
兩式相減得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
即T_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ•

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)遞推數(shù)列以及等比數(shù)列求出數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．