Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．如果函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

(-1，-

3

4

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，
 g（a）=b g（b）=a  即a²+m=b，b²+m=a，
兩式相減得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-

1

2

，
故關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間（-1，-

1

2

）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則 h（-1）＞0，h（-

1

2

）＜0，
解得m∈（-1，-

3

4

）．
故答案為：（-1，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了新的定義，以及函數(shù)的值域，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．