Question

4．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}，滿足a_2n=2a_n-3，且a${\;}_{6}^{2}$=a₁•a₂₁，{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，則數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}項(xiàng)中的最大值為6．

Answer 1

分析 由題意知a_2n=a₁+（2n-1）d，2a_n-3=2a₁+2（n-1）d-3，從而可得a₁=d+3，再結(jié)合a₆²=a₁•a₂₁可得等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為2，則$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+4）}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}}\\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}}\end{array}\right.$，從而解得n的值，即可求得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}項(xiàng)中的最大值．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∴a_2n=a₁+（2n-1）d，
2a_n-3=2a₁+2（n-1）d-3，
∴a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d-3，
即a₁=d+3，
∵a₆²=a₁•a₂₁，
∴（d+3+5d）²=（d+3）•（d+3+20d），
即d=0（舍去）或d=2，
故等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為2，
故S_n=5n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+4），
故$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+4）}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}}\\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}≥\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{n（n+2）}{{2}^{n}}≥2×\frac{（n-1）（n+1）}{{2}^{n}}}\\{2×\frac{n（n+2）}{{2}^{n}}≥2×\frac{（n+1）（n+3）}{{2}^{n+1}}}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{3}$-1≤n≤$\sqrt{6}$，
故n=2，
故數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}項(xiàng)中的最大值為$\frac{{S}_{2}}{{2}^{2-1}}$=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了最大值的求法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．