Question

12．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），則下列命題：
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上是減函數(shù)；
④將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合．
其中正確命題的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依次判斷各選項(xiàng)即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$）
對(duì)于①：由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；∴①對(duì)；
對(duì)于②：f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴②對(duì)；
對(duì)于③：由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{5π}{12}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，可得$\frac{π}{24}$+kπ≤x≤$\frac{13π}{24}$+kπ，∴f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上是減函數(shù)；∴③對(duì)；
對(duì)于④：將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個(gè)單位后，可得$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（2x$-\frac{π}{12}$$+\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），∴④對(duì)．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．