設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知an+1=2Sn+2()
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列,
①在數(shù)列{dn}中是否存在三項dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項,若不存在,說明理由;
②求證:.

(1)   (2)見解析

解析試題分析:
(1)利用Sn與an之間的關系,即可得到關于an+1,an的遞推式,證明an為等比數(shù)列,且可以知道公比,當n=1時,可以得到a1與a2之間的關系,在根據(jù)an等比數(shù)列,可以消掉a2得到首項的值,進而得到通項公式.
(2)根據(jù)等差數(shù)列公差與項之間的關系(),可以得到,帶入an得到dn的通項公式.
①假設存在,dm,dk,dp成等比數(shù)列,可以得到關于他們的等比中項式子,把dn的通項公式帶入計算可以得到,則m,k,p既成等差數(shù)列也是等比數(shù)列,所以三者相等,與數(shù)列{dn}中是否存在三項dm,dk,dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出的通項公式,再利用錯位相減可以求得,利用不等式的性質(zhì)即可得到證明原式.
試題解析:
(1)由,
可得:,
兩式相減:.        2分
,
因為數(shù)列是等比數(shù)列,所以,故.
所以.        4分
(2)由(1)可知
因為:,故:.        6分
①假設在數(shù)列中存在三項(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,
則:,即:,
(*)      8分
因為成等差數(shù)列,所以,
(*)可以化簡為,故,這與題設矛盾.
所以在數(shù)列中不存在三項(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.10分
②令,
,
      11分
兩式相減:
      13分
.      14分
考點:等比數(shù)列錯位相減法不等式等差等比中項

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且,,是首項為2,公差為的等差數(shù)列,其前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)當且僅當,成立,求的取值范圍.

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已知數(shù)列滿足,
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)當時,若的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的首項,公差,且、分別是等比數(shù)列、、.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設數(shù)列對任意正整數(shù)均有成立,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列為等差數(shù)列,且.設數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,為數(shù)列的前項和,求.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列是首項為,公比的等比數(shù)列,設.

(1)求證數(shù)列的前n項和;
(2)若對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

是公比大于的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項和.已知,且,構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)令求數(shù)列的前項和

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,,且,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設,求數(shù)列的前項和。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=5,S3=9.
(1)求首項a1和公差d的值;
(2)若Sn=100,求n的值.

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