Question

6．在三棱錐P-ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2$\sqrt{3}$，PA⊥平面ABC，若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為24π，則該三棱錐的體積為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 作出草圖，根據底面△ABC與截面圓的關系計算截面半徑，根據球的面積計算球的半徑，利用勾股定理計算球心到截面的距離，得出棱錐P-ABC的高．

解答 解過A作平面ABC所在球截面的直徑AD，連結BD，CD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ADB=30°．
∴∠BCD=∠CBD=∠BDC=60°．即△BCD是等邊三角形．
∵BC=2$\sqrt{3}$，∴AD=1+3=4．
過球心O作OM⊥平面ABC，則M為AD的中點，
∴AM=2．
設外接球半徑為r，則4πr²=24π，∴r=$\sqrt{6}$．即OA=$\sqrt{6}$．
∴OM=$\sqrt{2}$．
∵PA⊥平面ABC，
∴PA=2OM=2$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×2\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，考查計算能力，是中檔題．