Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），則使得a_k＞$\frac{1}{2016}$的最大正整數(shù)k為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），變形為：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}$+1，變形為$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+1）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：由a_n•a_n-1+2a_n-a_n-1=0（n≥2），變形為：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n-1}}$+1，變形為$\frac{1}{{a}_{n}}$=1=2$（\frac{1}{{a}_{n-1}}+1）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
又a₁₀=$\frac{1}{{2}^{10}-1}$=$\frac{1}{1023}$，
a₁₁=$\frac{1}{{2}^{11}-1}$=$\frac{1}{2047}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．