【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，x軸于點(diǎn)D.記滿足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ.

(1)求軌跡Γ的方程；

(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q，且.

①證明：

②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計(jì)算S(λ)的最大值.

【答案】(1)；(2)

【解析】

試題(1)由已知M是PD的中點(diǎn)，利用P點(diǎn)在圓上，可以求出M的點(diǎn)軌跡方程為；(2)點(diǎn)Q在(1)中的橢圓上，G是OQ上的分點(diǎn)，利用直線與橢圓的關(guān)系，可以找到λ與m和k的關(guān)系，并進(jìn)一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數(shù)關(guān)系式，再求出它的最大值.

試題解析：(1)設(shè)，則點(diǎn)，且 (1)

∵

∴ (2)

將(2)代入(1)，得

∴軌跡Γ的方程為； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (3)

∴

又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

根據(jù)，得

將其代入橢圓方程，有

化簡(jiǎn)得： (4) 9分

②由(3)(4)得

∵ (5)

在△AOB中， (6)

∴由(4)(5)(6)可得 12分

令

則(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，即時(shí)取“＝”)

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，其最大值為1. 13分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知圓，直線過點(diǎn)

（1）若直線的斜率為，證明：與圓相切；

（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．

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【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個(gè)完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體，這兩個(gè)四棱錐的底面ABCD為正方形，，平面平面ABCD.

(1)證明:平面平面MDC.

(2)若，求二面角的余弦值.

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【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）設(shè)AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)；

（2）若成績(jī)小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；

（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體中，已知，，

（1）求證：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊，其中邊長(zhǎng)為200米，現(xiàn)計(jì)劃建一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)，停車場(chǎng)的四個(gè)頂點(diǎn)都在的三條邊上，其余的地面全部綠化.若建停車場(chǎng)的費(fèi)用為180元/平方米，綠化的費(fèi)用為60元/平方米，設(shè)米，建設(shè)工程的總費(fèi)用為元.

（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：

（2）求停車場(chǎng)面積最大時(shí)的值，并求此時(shí)的工程總費(fèi)用.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù))滿足，且.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2) 令，求函數(shù)在∈[0，2]上的最小值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案