Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=2|x-a|，a∈R．
（1）若a=2，求不等式f（x）-g（x）≤x-3的解集；
（2）若對(duì)?m＞1，?x₀∈R，f（x）+g（x）≤$\frac{{m}^{2}+m+4}{m-1}$成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入f（x），通過討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，取交集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為：[f（x）+g（x）]_min≤2$\sqrt{6}$+3，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|，通過討論a的范圍，求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）若a=2，f（x）-g（x）=|x-1|-2|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x≤1}\\{3x-5，1＜x＜2}\\{-x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
①當(dāng)x≤1時(shí)，若f（x）-g（x）≤x-3，
則x-3≤x-3，故x≤1，
②當(dāng)1＜x＜2時(shí)，若f（x）-g（x）≤x-3，
則3x-5≤x-3，即x≤1，這與1＜x＜2矛盾，
③當(dāng)x≥2時(shí)，若f（x）-g（x）≤x-3，
則-x+3≤x-3，即x≥3，故x≥3，
綜上，不等式f（x）-g（x）≤x-3的解集是{x|x≤1或x≥3}；
（2）∵$\frac{{m}^{2}+m+4}{m-1}$=m-1+$\frac{6}{m-1}$+3≥2$\sqrt{6}$+3，（m＞1），
當(dāng)且僅當(dāng)m-1=$\frac{6}{m-1}$即m=$\sqrt{6}$+1時(shí)“=”成立，
原命題等價(jià)于?x∈R，f（x）+g（x）≤2$\sqrt{6}$+3成立，
即[f（x）+g（x）]_min≤2$\sqrt{6}$+3，
設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|，
①當(dāng)a＜1時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2a+1，x≤a}\\{x-2a+1，a＜x＜1}\\{3x-2a-1，x≥1}\end{array}\right.$．
h（x）_min=h（a）=|a-1|=1-a，
由1-a≤2$\sqrt{6}$+3，解得：a≥-2-2$\sqrt{6}$，
∴-2-2$\sqrt{6}$≤a＜1；
②當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=3|x-1|，
h（x）_min=0≤2$\sqrt{6}$+3顯然成立，
③當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2a+1，x≤1}\\{-x+2a-1，1＜x＜a}\\{3x-2a-1，x≥a}\end{array}\right.$，
h（x）_min=h（a）=|a-1|=a-1，
由a-1≤2$\sqrt{6}$+3，解得：a≤2$\sqrt{6}$+4，
∴1＜a≤2$\sqrt{6}$+4，
綜上，a的范圍是[-2-2$\sqrt{6}$，4+2$\sqrt{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，是一道中檔題．