Question

15．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）運用正弦定理和兩角和的正弦公式，以及輔助角公式，化簡整理，即可得到所求角A；
（2）求出數(shù)列的首項，設出公差d，運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項公式，化簡計算可得d，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）由正弦定理得：acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
即為sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
即有$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
由sinC≠0可得$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，
即$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，可得A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
解得$A=\frac{π}{3}$．
（2）由a₁cosA=1，由（1）知$A=\frac{π}{3}$，可得a₁=2，
又a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，可得${a_4}^2={a_2}{a_8}$，
數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設公差為d，則（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
又公差d≠0，解得d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n，
設${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
則數(shù)列{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的通項公式${b_n}=\frac{4}{4n（n+1）}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
前n項和S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查正弦定理的運用，三角函數(shù)的化簡和求值，考查等差數(shù)列的通項公式的運用，以及等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，屬于中檔題．