【題目】如圖，直三棱柱中，、分別是,的中點(diǎn)，.

（1）證明：∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，由三角形中位線(xiàn)定理得BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值

試題解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)

則為的中點(diǎn)

又是的中點(diǎn)，連接

則∥，因?yàn)?/span>平面，平面

所以∥平面

（2）解：由，得

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

設(shè)是平面的法向量，

則，即，

可取

同理，設(shè)是平面的法向量，則，

可取

從而

故

即二面角的正弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形， ， ， 底面， ， ， 是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四面體中，分別是的中點(diǎn)，

（1）求證：平面;

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為(　　)

A. B. C. D. 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3 ， a5 ， a15成等比數(shù)列，若a1=3，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則anSn的最小值為（ ）
A.0
B.﹣3
C.﹣20
D.9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，橢圓E的離心率為 ，過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m＞ ）做斜率存在且不為0的直線(xiàn)l，交橢圓E于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)P（ ，0），且 為定值．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M且垂直于l的直線(xiàn)與橢圓E交于B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(－2,2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．

(1)求函數(shù)g(x)的定義域；

(2)若f(x)是奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g(x)≤0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AD上，平面CEF與PA交于點(diǎn)K，且PA=AB=3，AF=2，則點(diǎn)K到平面PBD的距離為 ．

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【題目】已知兩條直線(xiàn)l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0. 求滿(mǎn)足下列條件的a，b值．

（Ⅰ）l1⊥l2且l1過(guò)點(diǎn)（﹣3，﹣1）；

（Ⅱ）l1∥l2且原點(diǎn)到這兩直線(xiàn)的距離相等．

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