Question

14．設函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1．
（1）若不等式f（x）＜mx的解集為{x|1＜x＜2}，求實數(shù)a、m的值；
（2）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出實數(shù)a、m的值；
（2）不等式化為（ax-1）（x-1）＜0，討論a=0和a＞0、a＜0時，求出不等式f（x）＜0的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（a+1）x+1，
∴不等式f（x）＜mx等價于ax²-（a+m+1）x+1＜0，…（1分）
依題意知不等式ax²-（a+m+1）x+1＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
∴a＞0且1和2為方程ax²-（a+m+1）x+1=0的兩根，…（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 1+2=\frac{a+m+1}{a}\\ 1×2=\frac{1}{a}\end{array}\right.$，…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ m=0\end{array}\right.$，…（5分）
∴實數(shù)a、m的值分別為a=1、m=0，…（6分）
（2）不等式f（x）＜0可化為（ax-1）（x-1）＜0，
（ⅰ）當a=0時，不等式f（x）＜0等價于-x+1＜0，解得x＞1，
故原不等式的解集為{x|x＞1}，…（7分）
（ⅱ）當a＞0時，不等式f（x）＜0等價于$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$，
①當0＜a＜1時$\frac{1}{a}＞1$，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集為$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
即原不等式的解集為$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，…（8分）
②當a=1時，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集為φ，
即原不等式的解集為φ，…（9分）
③當a＞1時$\frac{1}{a}＜1$，不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$的解集為$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，
即原不等式的解集為$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，…（10分）
（ⅲ）當a＜0時，不等式f（x）＜0等價于$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＞0$，
∵a＜0，
∴$\frac{1}{a}＜1$，
∴不等式$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＞0$的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}，
即原不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}，…（11分）
綜上所述，當a＞1時不等式f（x）＜0的解集為$\left\{{x\left|{\frac{1}{a}＜x＜1}\right.}\right\}$，
當a=1時不等式f（x）＜0的解集為φ，
當0＜a＜1時不等式f（x）＜0的解集為$\left\{{x\left|{1＜x＜\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
當a=0時不等式f（x）＜0的解集為{x|x＞1}，
當a＜0時不等式f（x）＜0的解集為為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞1}．   …（12分）

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了根與系數(shù)的關(guān)系與應用問題，是綜合性題目．