Question

2．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為   ρsin²θ=2cosθ，過點P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）求證：|PA|•|PB|=|AB|²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t參數(shù)可得直線l的普通方程；根據x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C和直線l聯(lián)立方程組求解A，B坐標，利用兩點之間的距離公式可得結論．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2cosθ，
x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得：y²=2x
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2x．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，可得x-y=-2+4，即x-y-2=0．
∴直線l的普通方程為x-y-2=0．
（Ⅱ）證明：直線l與曲線C相交于A，B兩點
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得坐標A（$\sqrt{5}+3$，$\sqrt{5}+1$），坐標B（3$-\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）
∵P（-2，-4），
那么：|PA|•|PB|=$\sqrt{2（\sqrt{5}+5）^{2}}•\sqrt{2（5-\sqrt{5}）^{2}}=2×20=40$
|AB|²=$（\sqrt{5}+3-3+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}+1-1+\sqrt{5}）^{2}$=40．
∴|PA|•|PB|=|AB|²．

點評 本題主要考查了極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程的轉換．兩點之間的距離公式．屬于基礎題．