Question

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC+（c-2b）cosA=0．
（1）求∠A的大��；
（2）若△ABC的面積為2

3

且a=2

3

，求b+c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理化簡acosC+（c-2b）cosA=0，由兩角和的正弦公式和誘導公式求出cosA，由內角的范圍求出A；
（2）由三角形面積公式和題意求出bc，由余弦定理和整體代換求出b+c的值．

解答： 解：（1）由題意知，acosC+（c-2b）cosA=0，
由正弦定理得，sinAcosC+（sinC-2sinB）cosA=0，
sinAcosC+sinCcosA-2sinBcosA=0，
則sin（A+C）-2sinBcosA=0，
由A+B+C=π得A+C=π-B，則sin（A+C）=sinB≠0代入上式得，
sinB-2sinBcosA=0，即cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，則A=

π

3

；
（2）因為△ABC的面積為2

3

，所以

1

2

bcsinA=2

3

，則bc=8，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bc×

1

2

，
則12=（b+c）²-3bc=（b+c）²-3×8，
解得b+c=6．

點評：本題考查正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和的正弦公式和誘導公式，以及整體代換，屬于中檔題．