Question

已知f（x）對任意的實數m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當x＞0時，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上為增函數；
（3）若f（1）=2，且關于x的不等式f（ax-2）+f（x-x²）＜3對任意的x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令m=0即可；
（2）根據函數單調性的定義進行證明，將f（x₂）變形成f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），從而得到函數的單調性；
（3）f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3，根據f（1）=2及f（x）在R上為增函數即得x²-（a+1）x+3＞0對任意的x∈[1，+∞）恒成立，故只需討論△的正負情況即可．

解答： （1）解：令m=0，則f（0+n）=f（0）+f（n）-1，即f（0）=1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，有f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在R上為增函數；
（3）∵f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3
∴f（ax-2+x-x²）＜2
又∵f（1）=2及f（x）在R上為增函數
∴ax-2+x-x²＜1對任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+3＞0對任意的x∈[1，+∞）恒成立．
下面對△=（a+1）²-12的正負情況進行討論：
①當△＜0，即（a+1）²-12＜0時，
-2

3

-1＜a＜2

3

-1
②當△=0且x²-（a+1）x+3=0的解小于1時，
則a=±2

3

-1，x=

a+1

2

＜1，
故a=-2

3

-1；
③當△＞0且x²-（a+1）x+3=0的最大解小于1時，
即0＜a²+2a-11＜a²-2a+1，
解得a＜-2

3

-1或2

3

-1＜a＜3，
綜合所述，a＜2

3

-1或2

3

-1＜a＜3．

點評：本題主要考查了抽象函數，及其函數的單調性和不等式的解法，著重考查了函數的簡單性質和函數恒成立問題等知識點，屬于中檔題．