分析 (1)連接BC1交B1C于點E,E為BC1的中點,由為AB的中點,則AC1∥DE,又AC1?平面B1CD,DE?平面B1CD,AC1∥平面B1CD;
(2)AC=BC,D為AB的中點,CD⊥AB,平面ABC⊥平面ABB1A1,可知平面B1CD⊥平面B1BD,過點B作BH⊥B1D,垂足為H,則BH⊥平面B1CD,B1C⊥BE,B1C⊥EH,
∠BEH為二面角B-B1C-D的平面角,Rt△BHE中,BE=$\sqrt{2}$,BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
解答 解:(1)證明:如圖,連接BC1交B1C于點E,
則E為BC1的中點.
∵D為AB的中點,∴在△ABC1中,AC1∥DE,
又AC1?平面B1CD,DE?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD
(2)∵AC=BC,D為AB的中點,
∴CD⊥AB,
又平面ABC⊥平面ABB1A1,
∴CD⊥平面ABB1A1.
∴平面B1CD⊥平面B1BD,
過點B作BH⊥B1D,垂足為H,則BH⊥平面B1CD,
連接EH,
∵B1C⊥BE,B1C⊥EH,
∴∠BEH為二面角B-B1C-D的平面角.
在Rt△BHE中,BE=$\sqrt{2}$,BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,
則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
即二面角B-B1C-D的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
點評 本題考查用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面間的夾角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,屬于中檔題.
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Z | 1 | 2 | 3 |
P | 0.5 | x | y |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
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A. | $\frac{π}{2}$ | B. | π | C. | 2π | D. | 4π |
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