Question

6．如圖在正方體中
（1）求異面直線BC₁與CD₁所成的角；
（2）求直線D₁B與底面ABCD所成角的正弦值；
（3）求二面角D₁-AC-D大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）由BC₁∥AD₁，知∠AD₁C即為BC₁與CD₁所成角，由此能求出BC₁與CD₁所成角．
（2）利用DD₁⊥平面ABCD，可得∠D₁DB為直線D₁B與平面ABCD所成的角，利用正弦函數可得結論；
（3）連接BD交AC于O，則DO⊥AC，根據正方體的性質，D₁D⊥AC，得出AC⊥D₁O，∠D₁OD為二面角D₁-AC-D的平面角，在直角三角形D₁OD中求解即可．

解答 解：（1）連接AC，AD₁，如圖所示：
∵BC₁∥AD₁，
∴∠AD₁C即為BC₁與CD₁所成角，
∵△AD₁C為等邊三角形，
∴∠AD₁C=60°，
故異面直線BC₁與CD₁所成的角為60°；
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，
∴∠D₁DB為直線D₁B與平面ABCD所成的角，
在Rt△D₁DB中，sin∠D₁DB=$\frac{{D}_{1}D}{{D}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴直線D₁B與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）連接BD交AC于O，則DO⊥AC，
根據正方體的性質，D₁D⊥面AC，
∴D₁D⊥AC，D₁D∩DO=D，
∴AC⊥面D₁OD，∴AC⊥D₁O，
∴∠D₁OD為二面角D₁-AC-D的平面角．
設正方體棱長為1，
在直角三角形D₁OD中，DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DD₁=1，
∴tan∠D₁OD=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是異面直線的夾角，直線與平面的夾角，二面角，難度中檔．