Question

19．已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），設(shè)R是直線OP上的一點，其中O是坐標原點．
（Ⅰ）求使$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$取得最小值時$\overrightarrow{OR}$的坐標的坐標；
（Ⅱ）對于（1）中的點R，求$\overrightarrow{RA}$與$\overrightarrow{RB}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用坐標法求出$\overrightarrow{OR}$的坐標，結(jié)合向量數(shù)量積的定義轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．
（Ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用進行求解即可．

解答 解（1）由題意，設(shè)$\overrightarrow{OR}$=t$\overrightarrow{OP}$=（2t，t），
則$\overrightarrow{RA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OR}$=（1-2t，7-t），
$\overrightarrow{RB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OR}$=（5-2t，1-t）．
所以$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8，
所以當t=2時，$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$最小，即$\overrightarrow{OR}$=（4，2）．
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{RA}$與$\overrightarrow{RB}$的夾角為θ，由（1）得$\overrightarrow{RA}$=（-3，5），$\overrightarrow{RB}$=（1，-1），
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{RA}•\overrightarrow{RB}}{|\overrightarrow{RA}||\overrightarrow{RB}|}$=$\frac{-3-5}{\sqrt{9+25}•\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題主要考查向量夾角和向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．