Question

16．已知函數(shù)f（x）=（2+a）x+a²lnx，g（x）=x²+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b關于a的函數(shù)關系式，并求b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可建立b關于a的函數(shù)關系式，并求b的最小值；

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+a+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，
∴當2+a≥0，即a≥-2時，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當2+a＜0，即a＜-2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$，+∞）．
（Ⅱ）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）的公共點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{（2+a）{x}_{0}+{a}^{2}ln{x}_{0}={{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+b}\\{2+a+\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}=2{x}_{0}+2}\end{array}\right.$消去x₀，得b=a²lna．
又b′=2a（lna+$\frac{1}{2}$），
故b=a²lna在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）上遞減，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上遞增．
故b的最小值為-$\frac{1}{2e}$．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，以及導數(shù)的幾何意義，要求熟練掌握導數(shù)的應用．