Question

【題目】設(shè)．求最小的正整數(shù)n，使得對A的任意11個子集，只要它們中任何5個的并的元素個數(shù)都不少于n，則這11個子集中一定存在3個，它們的交非空．

Answer 1

【答案】22

【解析】

n的最小值為22．

首先證明：．令，，

，．

顯然，，，，，．

于是，對其中任何三個子集，必有兩個同時為或者同時為，其交為空集．對其中任何五個子集，

有

，且任何三個子集的交為空集，故．

其次證明：符合條件．假定存在A的11個子集，它們中任何五個的并不少于22個元素，而任何三個的交都為空集．因每個元素至多屬于兩個子集，不妨設(shè)每個元素恰好屬于兩個子集（否則，在一些子集中添加一些元素，上述條件仍然成立）．由抽屜原理，此11個子集中必有一個子集（設(shè)為B）至少含有個元素．又設(shè)其他10個子集為，那么，不含B的任何五個子集，都對應(yīng)A中的至少22個元素，所有不含B的5—子集組一共至少對應(yīng)個元素．

另一方面，對于元素a，若，則中有兩個含有a，于是，a被計(jì)算了次；若，則中有一個含有a，于是，a被計(jì)算了次．從而， ．

由此可得，矛盾．

綜上所述，n的最小值為22．