的展開式中有理項共有        項．

已知一個關于正整數的命題滿足“若時命題成立，則時命題也成立”．有下列判斷：

（1）當時命題不成立，則時命題不成立；

（2）當時命題不成立，則時命題不成立；

（3）當時命題成立，則時命題成立；

（4）當時命題成立，則時命題成立．

其中正確判斷的序號是        ．（寫出所有正確判斷的序號）

已知復數滿足，則（為虛數單位）的最大值是        ．

已知扇形，點為弧上異于的任意一點，當為弧的中點時，的值最大．現有半徑為的半圓，在圓弧上依次取點（異于），則的最大值為    ．

從紅桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5這8張撲克牌中取出4張排成一排，如果取出的4張撲克牌所標的數字之和等于14，則不同的排法共有     種（用數字作答）．

若，則的值為     .

數列滿足，其中，設，則等于    ．

我們常用構造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式可得，左邊的系數為，

而右邊， 的系數為，

由恒成立，可得．

利用上述方法，化簡      ．

設實部為正數的復數，滿足，且復數在復平面上對應的點在第一、三象限的角平分線上．

（1）求復數；

（2）若為純虛數， 求實數的值．

4個男同學，3個女同學站成一排．

（1）男生甲必須排在正中間，有多少種不同的排法？

（2）3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？

（3）任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（4）其中甲、乙兩名同學之間必須有3人，有多少種不同的排法？

（用數字作答）