已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線：＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

如圖所示，已知點(diǎn)A(2，8)，B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)在拋物線y²＝2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合．

(1)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求BC所在直線的方程．

我們知道，畫圓的工具有圓規(guī)，那么學(xué)習(xí)過了橢圓的定義后，你能設(shè)計(jì)出一個(gè)用來畫橢圓的工具“橢圓規(guī)”嗎？

若動點(diǎn)M到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，求動點(diǎn)M的軌跡形狀．

已知圓A：(x＋3)²＋(y＋4)²＝36，圓B：x²＋y²＝1，一動圓M與這兩個(gè)圓都外切，試判斷動圓圓心M的軌跡形狀．

在△ABC中，點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)，且滿足：sinA－sinB＝sinC，頂點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是什么？

已知一圓經(jīng)過點(diǎn)F(0，3)且和直線y＋2 007＝0相切，試判斷圓心的軌跡的形狀．

已知圓M₁：(x＋4)²＋y²＝25，圓M₂：x²＋(y－3)²＝1，一動圓P與這兩個(gè)圓都外切，試判斷動圓圓心P的軌跡形狀．

在△ABC中，點(diǎn)B(－6，0)、C(0，8)，且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列．

(1)求證：頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動．

(2)指出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦距．

已知關(guān)于x的方程(1－a)x²＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：

(1)方程有兩個(gè)正根的充要條件；

(2)方程至少有一正根的充要條件．