在1和15之間插入兩數(shù)，使前三數(shù)成等比數(shù)列，后三數(shù)成等差數(shù)列，求這兩個(gè)數(shù)．

已知等差數(shù)列{a_n²}滿足首項(xiàng)a₁²=1，且公差d=1，a_n＞0，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=

1

an+1+an

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n，并求lg（T_n+1）的取值范圍．

數(shù)列{a_n}中a₁=

1

2

，前n項(xiàng)和 S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）證明數(shù)列{

n+1

n

S_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=

1

n2(2n-1)

S_n，數(shù)列{b_n}的前 n項(xiàng)和為 T_n．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，滿足S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列b_n=log₂a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列c_n=

1

bnbn+1

，求數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和 T_n．

已知向量

a

=（

3

，sin（x-

π

12

）），

b

=（sin（2x-

π

6

），2sin（x-

π

12

）），定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）令φ（x）=f（x+

π

4

），試畫(huà)出函數(shù)φ（x）在[0，π]這個(gè)周期內(nèi)的圖象．

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=-3，cosB=-

3

7

，b=2

14

．求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）sin（A-B）的值．

已知點(diǎn)A（-1，0），B（0，1），點(diǎn)P（x，y）為直線y=x-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：∠APB恒為銳角；
（2）若|

.

PA

|=|

.

PB

|，求向量

PB

+

PA

的坐標(biāo)．

學(xué)校欲在甲、乙兩店采購(gòu)某款投影儀，該款投影儀原價(jià)為每臺(tái)2000元，甲店用如下方法促銷：買(mǎi)一臺(tái)價(jià)格為1950元，買(mǎi)兩臺(tái)價(jià)格為1900元，每多買(mǎi)臺(tái)，每多買(mǎi)一臺(tái)，則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售價(jià)的80%促銷．學(xué)校需要購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)投影儀，若在甲店購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用記為f（x）元，若在乙店購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用記為g（x）元．
（1）分別求出f（x）和g（x）的解析式；
（2）當(dāng)購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)時(shí)，在哪家店買(mǎi)更省錢(qián)？

數(shù)列{a_n}中，a₁=3，對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（

an

，

an-1

）都在直線x-y-

3

=0上，則

lim

n→∞

an

(n+1)2

=．

已知

a

，

b

是單位向量，

a

•

b

=0，若向量

c

與向量

a

、

b

共面，且滿足|

a

-

b

-

c

|=1，則|

c

|的取值范圍是．