如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為24，邊OA比OC大5．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線．

某校從高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，其成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；
（2）已知在[90，100]段的學生的成績都不相同，且都在94分以上，現(xiàn)用簡單隨機抽樣方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任取2個數(shù)，求這2個數(shù)恰好是兩個學生的成績的概率．

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

．
（1）求直線D₁B與平面ABCD所成角的大小；
（2）求證：AC⊥平面BB₁D₁D．

若直線y=t與函數(shù)y=x³-3x的圖象有三個公共點，求實數(shù)t的取值范圍．

某苗木公司要為一小區(qū)種植三棵景觀樹，有甲、乙兩種方案．
甲方案：若第一年種植后全部成活，小區(qū)全額付款8千元；若第一年成活率不足

1

2

，終止合作，小區(qū)不付任何款項；若成活率超過

1

2

，但沒有全成活，第二年公司將對沒有成活的樹補種，若補種的樹全部成活，小區(qū)付款8千元，否則終止合作，小區(qū)付給公司2千元．
乙方案：只種樹不保證成活，每棵樹小區(qū)付給公司1.3千元．苗木公司種植每棵樹的成本為1千元，這種樹的成活率為

2

3

．
（Ⅰ）若實行甲方案，求小區(qū)給苗木公司付款的概率；
（Ⅱ）公司從獲得更大利潤考慮，應選擇那種方案．

求與直線5x+12y-5=0平行，且距離等于1的直線方程．

求曲線f（x）=x³-x+3在點（1，f（1））處的切線方程．

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求證：f（x）＞2g（

x-1

x+1

）；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程

1

2

g(x2)-f(1+x2)=k有四個不同的實根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)f（x）=4x²+ax+b，設關于x的不等式f（x）＞0的解集為（x₁，x₂），且方程f（x）=x的兩實根為α，β．
（1）若|α-β|=2，求a，b的關系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求（x₁+1）（x₂+1）的范圍．

已知函數(shù)f（x）=sin2x-

3

cos2x+1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求直線y=2+

2

與函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象在（-π，π）內所有交點的坐標．