如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，求證：平面A₁C₁CA⊥平面B₁D₁DB．

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（-

16

17

，

2

17

）在橢圓C內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若F（x）≥1在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，存在x₁、x₂∈[0，+∞），使f（x₁）=g（x₂）成立，求x₂-x₁的最小值．

判斷函數(shù)f（x）=x²-4|x|+5與函數(shù)g（x）=m圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

為選拔選手參加“中國(guó)謎語大會(huì)”，某中學(xué)舉行了一次“謎語大賽”活動(dòng)．為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．
（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國(guó)謎語大會(huì)”，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直線AB與直線PD所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求AB的長(zhǎng)，并求二面角D-PB-C的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-DPB的體積．

無窮數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．S₁₀=45．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）作函數(shù)f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，證明：f（

1

3

）＜

3

4

．

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)圓C經(jīng)過上述二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，求圓C的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線l₁：mx-y+2=0與（Ⅱ）中的圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得過點(diǎn)P（1，1）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知命題p：-10≤x≤2，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°．
（Ⅰ）求sin∠ABC；
（Ⅱ）求BD的長(zhǎng)度．