【題目】已知函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)性；

設(shè)，對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值；

求證：當時，

【題目】（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；

（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；

（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點. 連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.

【題目】已知橢圓，為橢圓的左、右焦點，點在直線上且不在軸上，直線與橢圓的交點分別為和，為坐標原點.

設(shè)直線的斜率為，證明：

問直線上是否存在點，使得直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

【題目】某高校在年的自主招生考試成績中隨機抽取名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第組，第組，第組，第組，第組得到的頻率分布直方圖如圖所示

分別求第組的頻率；

若該校決定在第組中用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進入第二輪面試，

已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進入第二輪面試的概率；

根據(jù)直方圖試估計這名學(xué)生成績的平均分.（同一組中的數(shù)據(jù)用改組區(qū)間的中間值代表）

【題目】如圖，已知四面體中，，且兩兩互相垂直，點是的中心．

（1）求二面角的大小（用反三角函數(shù)表示）；

（2）過作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；

（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍．

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.

【題目】如圖所示，在三棱錐中，底面，，，，為的中點.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為，求三棱錐的體積.

【題目】某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為.

（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；

（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？

【題目】直線平面，垂足是，正四面體的棱長為，點在平面上運動，點在直線上運動，則點到直線的距離的取值范圍是_________.

【題目】如圖，M為△ABC的中線AD的中點，過點M的直線分別交線段AB、AC于點P、Q兩點，設(shè)，，記.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的解析式（指明定義域）；

（3）設(shè)，，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.