已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，y₀）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S(0，-

1

3

)且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

張家界某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x（x≥10）萬元之間滿足：y=f(x)=ax2+

101

50

x-bln

x

10

，a，b為常數(shù)．當(dāng)x=10萬元時(shí)，y=19.2萬元；當(dāng)x=20萬元時(shí)，y=35.7萬元．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求該景點(diǎn)改造升級后旅游利潤T（x）的最大值．（利潤=旅游增加值-投入）

如圖分別為三棱錐S-ABC的直觀圖與三視圖，在直觀圖中，SA=SC，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

“上海世博會”于2010年5月1日至10月31日在上海舉行，世博會“中國館•貴賓廳”作為接待中外貴賓的重要場所，陳列其中的藝術(shù)品是體現(xiàn)兼容并蓄，海納百川的重要文化載體，為此，上海世博會事物協(xié)調(diào)局舉辦“中國2010年上海世博會”中國館•貴賓廳藝術(shù)品方案征集活動，某地美術(shù)館從館藏的中國畫、書法、油畫、陶藝作品中各選一件代表作參與應(yīng)證，假設(shè)代表中有中國畫、書法、油畫入選“中國館•貴賓廳”的概率均為

1

4

，陶藝入選“中國館•貴賓廳”的概率為

1

3

．
（1）求該地美術(shù)館選送的四件代表作中恰有一件作品入選“中國館•貴賓廳”的概率；
（2）設(shè)該地美術(shù)館選送的四件代表作中入選“中國館•貴賓廳”的作品件數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

已知向量

a

=(sinx，2

3

sinx)，

b

=(2cosx，sinx)，定義f(x)=

a•

b

- 

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數(shù)，求θ的值．

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=；
（2）定義f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

，則f（x，y，z）的最小值是 ．

0

若曲線C₁：θ=

π

6

（ρ∈R）與曲線C₂：

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且|AB|=2，則實(shí)數(shù)a的值為 ．

正三棱柱的底面邊長為2

3

cm，高為2cm，則它的外接球的表面積為 cm²．（結(jié)果保留π）