Question

9．如圖（甲）所示，x軸上方為一垂直于平面xoy向里的勻強磁場，磁感強度為B，x軸下方為方向平行于x軸，大小恒為E_o，方向作周期性變化的 電場．在坐標為（R，R）的A點和第四象限中某點分別放置的兩個質量均為m，電量均為q的正點電荷P和Q，P、Q的重力均不計．現使P在勻強磁場中開始做半徑為R的勻速圓周運動，同時釋放Q，要使兩電荷總是以相同的速度同時通過y軸，求：

（1）場強E_o的大小及方向變化的周期．
（2）在圖（乙）的E-t圖中作出該電場的變化圖象（以釋放電荷P時為初始時刻，x軸的正方向作為場強的正方向），要求至少畫出兩個周期的圖象．

Answer 1

分析 粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的速度，由周期公式求出粒子運動的周期；
由牛頓第二定律求出電場強度；根據電場強度的變化規(guī)律作出圖象

解答 解：因電荷Q只能垂直于y軸運動，要使P、Q始終以相同的速度同時通過y軸，則P一定是以坐標（O、R）為圓心做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$v=\frac{qBR}{m}$
通過y軸的速度大小為$v=\frac{qBR}{m}$．圓周運動的周期為${T}_{0}^{\;}=\frac{2πm}{qB}$．
因電荷P從A點出發(fā)第一次到達y軸所需的時間為$\frac{T_o}{4}=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{2qB}$
那么，在這段時間內，Q必須電場力作用下加速度y軸且速度大小為v，所以
$v=a•\frac{{T}_{0}^{\;}}{4}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}×\frac{πm}{2qB}$
得${E}_{0}^{\;}=\frac{2Bv}{π}=\frac{2{B}_{\;}^{2}qR}{πm}$
在這段進間內電場的方向向左． 
又P再經過$\frac{T_o}{2}$的時間后第2次向右通過y軸，速度的大小為v，則，由運動學的特片可知，Q在第一次過y軸后，必須先經$\frac{T_o}{4}$的時間反向加速到y(tǒng)軸速度達到v，才能保證Q第二次與P以相同的速度v過y軸，在這段時間內，電場的方向始終向右，此后，應與P作勻稱速度圓周運動的周期相同．
即$T={T_o}=\frac{2πm}{qB}$
   （2）E-t圖象如右圖所示．

答：（1）場強E_o的大小為$\frac{2{B}_{\;}^{2}qR}{πm}$及方向變化的周期$\frac{2πm}{qB}$．
（2）在圖（乙）的E-t圖中作出該電場的變化圖象，如上圖所示

點評 解決該題的關鍵是判斷出粒子通過y軸的時間與P運動周期的關系，抓住對稱性和周期性是解題的技巧．