Question

19．小芳同學在學習了單擺之后，她設(shè)想了一個問題：如果讓擺球帶上電荷在磁場中擺動，（如圖1所示），情況會怎樣？與重力場中的單擺，（如圖2所示）相比，運動情況還相同嗎？還是簡諧運動嗎？于是她試著對這個問題進行了一系列的比較和探究．

如圖1所示，把單擺放置在一垂直紙面向里的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度的大小為B．已知單擺擺長為L，擺球的質(zhì)量為m，帶電量為+q，擺球在豎直平面內(nèi)來回擺動，擺角為θ（θ＜5°），細線始終處于拉直狀態(tài)，當?shù)刂亓�加速度為g，不計空氣阻力的影響．
（1）求擺球擺到最低點時的速度大小v．該速度與重力場中擺球擺到最低點的速度大小相等嗎？
（2）求擺動過程中細線拉力的最大值T．該拉力與重力場中細線拉力的最大值相等嗎？
（3）小芳進一步對該運動進行了多角度的分析后，推斷該運動仍然是簡諧運動．請你運用學過的知識論證小芳的推斷是否正確．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律可以列式求解最低點的速度；
（2）由向心力公式列式即可求得拉力大小，則可明確與只在重力場中時拉力的不同；
（3）根據(jù)回復(fù)力的定義，利用數(shù)學規(guī)律可明確小球受力特點；明確是否做簡諧運動．

解答 解：（1）小球擺至最低點的過程中機械能仍然守恒；則有：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$；
可知，該速度與只受重力時擺球擺到最低點處的速度大小相等；
（2）小球向左運動擺至最低點時細線的拉力最大；在最低點受力情況如下圖所示；
根據(jù)牛頓第二定律可得：
T-qvB-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$；
可得：
T=3mg-2mgcosθ+qB$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$
故該拉力與重力場中細線的拉力的最大值不相等；
（3）選擇圖中所示偏角為α角的位置進行分析，小球受到重力、洛侖茲力及拉力的作用；使擺球沿圓弧振動的回復(fù)力仍然由重力沿圓弧切線方向上的分力F=mgsinα提供；
取水平向右的方向為正方向，在偏角很小時，擺球?qū)τ谄胶馕恢玫奈灰苮的大小，與α角所對的弧長、弦長都近似相等，因而sinα=$\frac{x}{L}$，所以擺球的回復(fù)力F=-$\frac{mg}{L}x$，負號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反，由于m、g、L都有確定的數(shù)值；可以用一個常數(shù)k表示，于是上式就可以寫成F=-kx；
可見在偏角很小的情況下，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向相反；因此該運動仍然是簡諧運動；判斷正確；
答：（1）擺球擺到最低點時的速度大小v．該速度與重力場中擺球擺到最低點的速度大小相等；
（2）求擺動過程中細線拉力的最大值T．該拉力與重力場中細線拉力的最大值不相等；
（3）小芳的判斷是準確的．

點評 本題考查簡諧運動及機械能守恒定律，要注意明確洛侖茲力永不做功這一結(jié)論；明確小球在磁場中運動時的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，進而明確受力特點．