Question

3．如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，左側(cè)勻強(qiáng)電場兩邊界間的電勢差為U，場強(qiáng)方向水平向右，其寬度為L；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外．右側(cè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為4B，方向垂直紙面向里，一個帶正電的粒子（質(zhì)量為m、電量q，不計重力）從電場左邊緣a點由靜止開始運(yùn)動，穿過中間磁場區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到了a點，然后重復(fù)上述運(yùn)動過程．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場時的初速度
（2）中間磁場區(qū)域的寬度d．
（3）帶電粒子從a點開始運(yùn)動到第一次回到a點時所用的時間t．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動，垂直進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，畫出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)動能定理即可求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率；
（2）粒子在磁場中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場中運(yùn)動的時間，再求出在兩段磁場中運(yùn)動的時間，三者之和即可帶電粒子從O點開始運(yùn)動到第一次回到O點所用時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速過程，由動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）設(shè)粒子在兩磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑分別為r₁和r₂．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得，r₁=$\frac{m\sqrt{2qU}}{qB}$，r₂=$\frac{m\sqrt{2qU}}{4qB}$=$\frac{1}{4}{r}_{1}$
畫出帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖．設(shè)兩軌跡圓心連線與磁場邊界成θ角，則由幾何知識得
   2（r₁-r₁cosθ）=2r₂cosθ
又r₁=4r₂，
解得，cosθ=$\frac{4}{5}$，則sinθ=$\sqrt{1-\frac{{4}^{2}}{{5}^{2}}}=\frac{3}{5}$
θ=37°=$\frac{37π}{180}$rad
故中間磁場區(qū)域的寬度d=r₁sinθ=$\frac{3}{5}{r}_{1}=\frac{3m\sqrt{2qU}}{5qB}$
（3）以t₁、t₂、t₃分別表示粒子在電場、中間磁場及右邊磁場中運(yùn)動的時間，則
   L=$\overline{v}{t}_{1}$=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
得：t₁=$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
  vt₂=r₁•2θ
  vt₃=r₂•（π+2θ）
總時間為：t=t₁+t₂+t₃
代入數(shù)據(jù)得：t=$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{365πm}{360qB}$
答：（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）中間磁場區(qū)域的寬度d是$\frac{3m\sqrt{2qU}}{5qB}$；
（3）帶電粒子從O點開始運(yùn)動到第一次回到O點所用的時間t是$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{365πm}{360qB}$．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡，運(yùn)用幾何知識求解軌跡半徑．