Question

8．如圖所示，虛線OO′右側(cè)存在垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，某時(shí)候質(zhì)量為m、電荷量為-q（q＞0）的粒子a在紙面內(nèi)以速度v₁=v₀從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，其方向與OO′的夾角θ₁=30°；另一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子b在紙面內(nèi)以速度v₂=$\sqrt{3}$v₀也從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，其方向與OO′的夾角θ₂=60°．已知粒子a、b同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界的P、Q兩點(diǎn)（圖中未畫出），不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用．
（1）求兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t；
（2）求兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)之間的距離d．

Answer 1

分析 （1）作出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由△t=t₁-t₂求解．
（2）由牛頓第二定律求出半徑，結(jié)合幾何知識(shí)求出d．

解答 解析：（1）粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子a圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角 α=$\frac{5π}{3}$在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{α}{2π}$T；
粒子b圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角 β=$\frac{4π}{3}$，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₂=$\frac{β}{2π}$T
已知粒子a、b同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界的P、Q兩點(diǎn)，所以△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有
 qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
設(shè)粒子a從邊界上的C點(diǎn)離開磁場(chǎng)，則AC=2 r₁ sinθ₁   
設(shè)粒子b從邊界上的D點(diǎn)離開磁場(chǎng)，則AD=2r₂ sinθ₂  
故d=AC+AD=2r₁ sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
答：
（1）兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t為$\frac{πm}{3qB}$；
（2）兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)之間的距離d為$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是常見的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)是處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的基本方法．