Question

11．自由式滑雪空中技巧是一項有極大觀賞性的運(yùn)動，其場地由①出發(fā)區(qū)、②助滑坡、③過渡區(qū)、④高度h=4m的跳臺組成．其中過渡區(qū)的CDE部分是半徑為R=4m圓弧，D是最低點(diǎn)，∠DOE=60°，如圖所示．比賽時運(yùn)動員由A點(diǎn)靜止出發(fā)進(jìn)入助滑區(qū)，經(jīng)過渡區(qū)后，沿跳臺的斜坡勻減速上滑，至跳臺的F處飛出表演空中動作．運(yùn)動員要成功完成空中動作，必須在助滑區(qū)用滑雪桿助滑，使離開F點(diǎn)時速度在36km/h到48km/h之間．不計所有阻力，已知$\overline{AB}=2\overline{EF}$，取g=10m/s²．
（1）一次，某總質(zhì)量為60kg的運(yùn)動員進(jìn)行試滑，他從A點(diǎn)滑下后不用滑雪桿助滑，結(jié)果F點(diǎn)飛出后無法完成空中動作．教練測得他在②、④兩段運(yùn)動時間之比t₁：t₂=3：1，求他在②、④兩段運(yùn)動的平均速度之比和加速度之比．
（2）這次試滑，他通過D點(diǎn)時受到的支持力多大？
（3）試求為了能成功完成空中動作，助滑過程中他至少需要消耗多少體能？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平均速度的定義式求出平均速度之比，根據(jù)位移時間公式，結(jié)合B、E兩點(diǎn)的速度大小相等，求出加速度之比．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合加速度的關(guān)系求出在AB段的加速度大小，結(jié)合速度位移公式求出B點(diǎn)的速度，對B到D運(yùn)用動能定理求出D點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（3）根據(jù)功能關(guān)系求出助滑過程中他至少需要消耗的體能．

解答 解：（1）由$\overline{v}=\frac{x}{t}$可得，位移之比為2：1，時間之比為3：1，則$\overline{{v}_{1}}：\overline{{v}_{2}}=2：3$，
$\overline{AB}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，$\overline{EF}={v}_{E}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$，
不計阻力，v_B=v_E=a₁t₁，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得a₁：a₂=2：3．
（2）在$\overline{EF}$段，有：$\overline{EF}=\frac{h}{sin60°}=\frac{8\sqrt{3}}{3}m$，
${a}_{2}=gsin60°=5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
在$\overline{AB}$段，有：$\overline{AB}=2\overline{EF}=\frac{16\sqrt{3}}{3}m$，${a}_{1}=\frac{2}{3}{a}_{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}m/{s}^{2}$，
運(yùn)動員從A點(diǎn)由靜止出發(fā)做勻加速運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式得，
${{v}_{B}}^{2}=2{a}_{1}\overline{AB}$，
從B點(diǎn)至D點(diǎn)的過程中，由動能定理得，$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得F_N=2800N．
（3）設(shè)助滑過程中運(yùn)動員消耗的能量為E，由功能關(guān)系可得，
E-mg[h+R（1-cos60°）]=$\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$，
當(dāng)v_F=36km/h=10m/s時，E_min=2200J．
答：（1）他在②、④兩段運(yùn)動的平均速度之比和加速度之比分別為2：3、2：3．
（2）他通過D點(diǎn)時受到的支持力為2800N．
（3）助滑過程中他至少需要消耗2200J的體能．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動能定理、功能關(guān)系、牛頓定律和運(yùn)動學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清運(yùn)動員在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，難度中等．