Question

13．如圖所示，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，小球繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力）．
（1）若小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度為v，求v的最小值和此時(shí)繩對(duì)小球拉力F的大小；
（2）若小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)A且懸點(diǎn)距地面的高度h=2L，小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)或D點(diǎn)時(shí)繩突然斷開(kāi)，求兩種情況下小球從拋出到落地所用時(shí)間之差△t；
（3）若小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C或最高點(diǎn)A時(shí)，繩突然斷開(kāi)，兩種情況下小球從拋出到落地水平位移大小相等，則O點(diǎn)距離地面高度h與繩長(zhǎng)L之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球拉力F和重力的合力提供向心力，當(dāng)F=0時(shí)，速度最�。�
（2）若小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)${v}_{A}=\sqrt{gL}$，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出BD的速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解時(shí)間差；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)向心力最小值為mg，根據(jù)牛頓第二定律求得小球到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式即可求解．

解答 解：（1）球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，F(xiàn)+mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
F=$\frac{{mv}^{2}}{L}-mg$
當(dāng)拉力F為零時(shí)，速度v的最小值為$\sqrt{gL}$
（2）若小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)${v}_{A}=\sqrt{gL}$，由機(jī)械能守恒
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgL$
解得：${v}_{B}={v}_{D}=\sqrt{3gL}$
從B點(diǎn)、D點(diǎn)小球分別豎直上拋和豎直下拋，則
△t=$\frac{2{v}_{B}}{g}=\frac{2{v}_{D}}{g}$=$\frac{2\sqrt{3gL}}{g}$         
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A繩斷開(kāi)后平拋運(yùn)動(dòng)，則
$h+L=\frac{1}{2}g{{t}_{A}}^{2}$   
x_A=v_At_A
小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C繩斷開(kāi)后平拋運(yùn)動(dòng)，則
$h-L=\frac{1}{2}g{{t}_{C}}^{2}$
x_C=v_Ct_C   
從A到C由機(jī)械能守恒定律得
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgL$
又x_A=x_C
聯(lián)立上述各式解得${{v}_{A}}^{2}=2g（h-L）$
小球圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)${v}_{A}≥\sqrt{gL}$
得h≥$\frac{3}{2}$L                       
答：（1）v的最小值為$\sqrt{gL}$，此時(shí)繩對(duì)小球拉力F的大小為零；
（2）兩種情況下小球從拋出到落地所用時(shí)間之差△t為$\frac{2\sqrt{3gL}}{g}$；
（3）O點(diǎn)距離地面高度h與繩長(zhǎng)L之間應(yīng)滿足的關(guān)系為h≥$\frac{3}{2}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒結(jié)合進(jìn)行研究，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，也可以運(yùn)用分解的方法求小球落地速度．