Question

3．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響．若把一質(zhì)量為m的物體放在地球表面的不同位置，由于地球自轉(zhuǎn)，它對(duì)地面的壓力會(huì)有所不同．
（1）若把物體放在北極的地表，求該物體對(duì)地表的壓力F₁的大��；
（2）若把物體放在赤道的地表，求該物體對(duì)地表的壓力F₂的大�。�
（3）若把物體放在赤道的地表，請(qǐng)你展開(kāi)想象的翅膀，假想地球的自轉(zhuǎn)不斷加快，當(dāng)該物剛好“飄起來(lái)”時(shí)，求此時(shí)地球的“一天”T的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物體放在北極的地表時(shí)，萬(wàn)有引力與支持力相平衡，根據(jù)平衡條件列式求解支持力，根據(jù)牛頓第三定律求解壓力；
（2）當(dāng)物體放在赤道的地表時(shí)，萬(wàn)有引力與支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力，根據(jù)牛頓第三定律列式求解壓力；
（3）物體剛好“飄起來(lái)”時(shí)，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)物體放在北極的地表時(shí)，萬(wàn)有引力與支持力相平衡，有：
${F}_{1}^{′}$=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$                                      
根據(jù)牛頓第三定律，該物體對(duì)地表的壓力：
${F}_{1}={F}_{1}^{′}$=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$    
（2）當(dāng)物體放在赤道的地表時(shí)，萬(wàn)有引力與支持力的合力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$-${F}_{2}^{′}$=$mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
根據(jù)牛頓第三定律，該物體對(duì)地表的壓力：
F₂=F₂ˊ…②
聯(lián)立①②得：
F₂=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$                    
（3）物體剛好“飄起來(lái)”時(shí)，即F₂=0，則有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$                          
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
答：（1）若把物體放在北極的地表，求該物體對(duì)地表的壓力F₁的大小為$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$；
（2）若把物體放在赤道的地表，該物體對(duì)地表的壓力F₂的大小為$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$；
（3）此時(shí)地球的“一天”T的表達(dá)式為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確重力和萬(wàn)有引力的聯(lián)系和區(qū)別，當(dāng)不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，兩者相等，基礎(chǔ)題目．