Question

3．如圖所示，一個質量為m的剛性圓環(huán)套在粗糙的豎直固定細桿上，圓環(huán)的直徑略大于細桿的直徑，圓環(huán)的兩邊與兩個相同的輕質彈簧的一端相連，輕質彈簧的另一端連在和圓環(huán)同一高度的墻壁上的P、Q兩點處，彈簧的勁度系數(shù)為k，起初圓環(huán)處于O點，彈簧處于原長狀態(tài)且彈簧的原長為L，細桿上面的A、B兩點到O點的距離都為L，將圓環(huán)拉至A點由靜止釋放，重力加速度為g，對于圓環(huán)從A點運動到B點的過程，下列說法正確的是（　　）

• A． 圓環(huán)通過O點的加速度小于g
• B． 圓環(huán)在O點的速度最大
• C． 圓環(huán)在A點時的加速度大小為g+$\frac{（2-\sqrt{2}）kL}{m}$
• D． 圓環(huán)在B點的速度為2$\sqrt{gL}$

Answer 1

分析 以圓環(huán)為研究對象，圓環(huán)在初始位置速度為0，從A點到B點運動過程中，彈簧的形變量先減小后增加，彈簧與豎直方向的夾角先增加后減小，通過O點時的速度和加速度，通過受力情況來分析，根據(jù)牛頓第二定律可以求出圓環(huán)在A點的加速度，根據(jù)功能關系可以分析圓環(huán)在B點的速度．

解答 解：A、圓環(huán)通過O點時，水平方向合力為零，豎直方向只受重力，故加速度等于g，故A錯誤．
B、圓環(huán)受力平衡時速度最大，應在O點下方，故B錯誤．
C、圓環(huán)在下滑過程中與粗糙細桿之間無壓力，不受摩擦力，在A點對圓環(huán)進行受力分析如圖，根據(jù)幾何關系，在A點彈簧伸長$（\sqrt{2}L-L）$，根據(jù)牛頓第二定律，有
$mg+2k（\sqrt{2}L-L）cos45°=ma$
解得$a=g+\frac{（2-\sqrt{2}）kL}{m}$，故C正確．
D、圓環(huán)從A到B過程，根據(jù)功能關系，減少的重力勢能轉化為動能，$mg2L=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得$v=2\sqrt{gL}$，故D正確．
故選：CD

點評 本題考查了牛頓運動定律，關鍵是明確研究對象進行受力分析，注意本題中彈簧的彈力是變力，初末位置彈簧的形變量相等，彈性勢能相等，同時注意圓環(huán)與細桿之間無擠壓．