Question

19．一公園的湖面上修建了一個(gè)伸向水面的觀景平臺(tái)，如圖所示為其豎直截面圖，水平湖底上的P點(diǎn)位于觀景平臺(tái)右側(cè)邊緣正下方，觀景平臺(tái)下表面距湖底的高度為H=4m，在距觀景平臺(tái)右側(cè)邊緣正前方d=4m處有垂直湖面足夠大的宣傳布幕．在P點(diǎn)左側(cè)l=3m處湖底上的Q點(diǎn)安裝有一單色光光源（可視為點(diǎn)光源）．已知水對(duì)該單色光的折射率n=$\frac{4}{3}$，當(dāng)水面與觀景平臺(tái)的下表面齊平時(shí)，只考慮在圖中截面內(nèi)傳播的光，求：
Ⅰ．該光源發(fā)出的光照射到布幕上的最高點(diǎn)距水面的高度h；
Ⅱ．該光源發(fā)出的光能射出水面的最遠(yuǎn)位置距觀景平臺(tái)右側(cè)的最遠(yuǎn)距離s．

Answer 1

分析 Ⅰ、射向觀景臺(tái)右側(cè)邊緣的光線折射后射到布幕上的位置最高，作出光路圖，由數(shù)學(xué)知識(shí)求折射角的正弦值，即可由折射定律求出入射角的正弦，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解高度h．
Ⅱ、點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，入射角為90°，光能照亮的距離最遠(yuǎn)，由折射定律求出折射角，即可由幾何知識(shí)求解最遠(yuǎn)距離．

解答 解：Ⅰ、如圖所示，射向觀景臺(tái)右側(cè)邊緣的光線折射后射到布幕上的位置最高．由折射定律得：
  n=$\frac{sini}{sinr}$
而sinr=$\frac{l}{\sqrt{{l}^{2}+{H}^{2}}}$
解得 sini=0.8
而 sini=$\fracsakcww4{\sqrt{ssuissa^{2}+{h}^{2}}}$
解得 h=3m 
Ⅱ、點(diǎn)光源S接近水面時(shí)，光在觀景臺(tái)右側(cè)面與水面交接處掠射到水里時(shí)，被照亮的距離為最遠(yuǎn)距離，此時(shí)，入射角為90°，折射角為臨界角C．
根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$
以及 sinC=$\frac{s+l}{\sqrt{（s+l）^{2}+{H}^{2}}}$
解得 s=（$\frac{12\sqrt{7}}{7}$-3）m
答：
Ⅰ．該光源發(fā)出的光照射到布幕上的最高點(diǎn)距水面的高度h是3m；
Ⅱ．該光源發(fā)出的光能射出水面的最遠(yuǎn)位置距觀景平臺(tái)右側(cè)的最遠(yuǎn)距離s是（$\frac{12\sqrt{7}}{7}$-3）m．

點(diǎn)評(píng) 本題以折射率和全反射為命題背景考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力，關(guān)鍵能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解入射角和折射角的正弦值，知道入射角最大時(shí)折射角也最大．