Question

12．“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星．已知它在距月球表面高度為h的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T，引力常量為G，月球半徑為R
（1）求月球的質(zhì)量；
（2）求月球的密度；
（3）求月球表面的重力加速度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合衛(wèi)星的周期與軌道半徑的大小求出月球的質(zhì)量，根據(jù)月球的體積求出月球的密度．根據(jù)萬有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
則月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（3）根據(jù)萬有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的密度為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）求月球表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．