Question

12．如圖所示，一個矩形線圈的ab、cd邊長L₁=$\sqrt{2}m$，ad，bc邊長L₂=1m，線圈匝數(shù)N=100匝，線圈處于磁感應強度B=0.01T的水平勻強磁場中，并以OO′為軸做勻速轉動（OO′與磁場方向垂直，線圈電阻不計），線圈轉動的角速度ω=10rad/s，現(xiàn)將該線圈輸出端通過變比為k=2的理想變壓器（原副線圈匝數(shù)之比為2：1）與電阻為R=1Ω的電動機相連，同時用此電動機將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導體棒EF從靜止向上拉起（不計電動機的摩擦損耗），測得矩形線圈中形成的電流有效值為I=1A．已知導體棒的質(zhì)量m=0.5kg，U型金屬框架寬L=$\sqrt{5}$m且足夠長，空間存在垂直框架平面磁感應強度B₀=1T的勻強磁場，當導體棒上升的時間t₀＞1s時其速度恰好穩(wěn)定，棒有效電阻R₀=4Ω，金屬框架的總電阻r₀=1Ω并認為不變．棒與金屬框架接觸良好，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）導體棒勻速上升時的速度；
（2）若0～1s時間內(nèi)導體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，并已知1s時間內(nèi)上升高度為h=1m，求1s時刻導體棒的速度．
（3）若豎直光滑U型金屬框架不固定地靠在豎直墻壁上，其下端置于水平地面上，金屬框架質(zhì)量M=1kg，問當矩形線圈轉動的角速度ω取何值時，被拉導棒速度穩(wěn)定后矩形線圈中的電流I₀=2A，且豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零？

Answer 1

分析 （1）由交流電產(chǎn)生的原理求出線圈中產(chǎn)生的最大電動勢及其有效值，然后由又變壓器的關系公式求出電動機兩端的電壓與電動機的輸出功率；最后結合導體棒切割磁感線的功能轉化關系，即可求出導體棒勻速上升時的速度；
（2）導體棒向上運動的過程中，電動機做的功轉化為棒的動能、棒的勢能以及線框與棒中產(chǎn)生的內(nèi)能，由此即可求出棒的速度；
（3）對導體框進行受力分析，求出導體框受到的安培力，由F=BIL求出線框中的電流，由閉合電路的歐姆定律求出棒中的電動勢，由E=BLv求出棒的速度，由P=Fv求出電動機的輸出功率，最后結合變壓器的匝數(shù)比以及交流電的產(chǎn)生，求出矩形線圈轉動的角速度ω．

解答 解：（1）線圈在轉動的過程中產(chǎn)生的最大電動勢：${E}_{m1}=NB{L}_{1}{L}_{2}ω=100×0.01×\sqrt{2}×1×10=10\sqrt{2}$V
線圈中的電動勢的有效值：${E}_{1}=\frac{{E}_{m1}}{\sqrt{2}}=10$V
線圈輸出的功率：P₁=E₁I₁=10×1=10W
電動機上的電壓：${U}_{1}=\frac{{E}_{1}}{k}=\frac{10}{2}=5$V
電動機上的電流：${I}_{1}′=\frac{{P}_{1}}{{U}_{1}}=\frac{10}{5}=2$A
電動機的輸出功率：${P}_{出}={P}_{1}-I{′}_{1}^{2}R=10-{2}^{2}×1=6$W
當導體棒向上的勻速運動的過程中，產(chǎn)生的電動勢：E₂=B₀Lv₁
感應電流：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
導體棒受到的安培力：${F}_{1}={B}_{0}{I}_{2}L=\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
導體棒做勻速運動，繩子的拉力等于重力與安培力的和，即：F=F₁+mg
繩子拉力的功率等于電動機的輸出的功率，即：P_出=Fv₁
聯(lián)立得：v₁=1m/s
（2）若0～1s時間內(nèi)導體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，由于導體棒與線框中的電流是相等的，由：Q=I²Rt可得：
$Q′=\frac{{r}_{0}}{{R}_{0}}Q=\frac{1}{4}×0.75=0.1875$J
導體棒向上運動的過程中，電動機做的功轉化為棒的動能、棒的勢能以及線框與棒中產(chǎn)生的內(nèi)能．即：
${P}_{出}t=mgh+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+Q+Q′$
代入數(shù)據(jù)得：v₂=0.5m/s
（3）豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零時，框架的下邊受到的安培力：
B₀I₃L=Mg
電路中產(chǎn)生的電動勢：E₃=B₀Lv₃
所以電路中的電流：${I}_{3}=\frac{{E}_{3}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
所以：${v}_{3}=\frac{Mg（{R}_{0}+{r}_{0}）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}=\frac{1×10×（4+1）}{{1}^{2}×（\sqrt{5}）^{2}}=10$m/s
EF達到穩(wěn)定時，受到的拉力等于受到的安培力與重力的和，即：F′=mg+B₀I₃L
代入數(shù)據(jù)得：F′=15N
所以拉力的功率，即電動機的輸出功率：P_出′=F′v₃=15×10=150W
此時矩形線圈中的電流I₀=2A，則流過電動機的電流：I₄=kI₀=2×2=4A
電動機的輸入功率：${P}_{2}′={I}_{4}^{2}R+{P}_{出}′={4}^{2}×1+150=166$W
由于電動機的輸入功率等于矩形線圈的輸出功率，所以矩形線圈的輸出功率為：P₂=166W，
又：P₂=E₀•I₀
則：${E}_{0}=\frac{{P}_{2}}{{I}_{0}}=\frac{166}{2}=84$V
該電動勢是有效電動勢，則最大電動勢：${E}_{2m}=\sqrt{2}{E}_{2}$
又：E_2m=NBL₁L₂ω′
所以：$ω′=\frac{{E}_{2m}}{NB{L}_{1}{L}_{2}}=\frac{84\sqrt{2}}{100×0.01×1×\sqrt{2}}=84$rad/s
答：（1）導體棒勻速上升時的速度1m/s；
（2）若0～1s時間內(nèi)導體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，并已知1s時間內(nèi)上升高度為h=1m，1s時刻導體棒的速度是0.5m/s．
（3）當矩形線圈轉動的角速度ω取 84rad/s時，豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零．

點評 該題將恒定電流與閉合電路的歐姆定律、電磁感應定律的綜合應用、交流電的有效值與最大值結合在一起，涉及到的知識點多，物理過程多，物理量多、公式多、屬于難度變態(tài)的題目，做這一類的題目要有足夠的耐心與信心．