Question

12．如圖所示，一個(gè)矩形線圈的ab、cd邊長(zhǎng)L₁=$\sqrt{2}m$，ad，bc邊長(zhǎng)L₂=1m，線圈匝數(shù)N=100匝，線圈處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.01T的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并以O(shè)O′為軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（OO′與磁場(chǎng)方向垂直，線圈電阻不計(jì)），線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=10rad/s，現(xiàn)將該線圈輸出端通過(guò)變比為k=2的理想變壓器（原副線圈匝數(shù)之比為2：1）與電阻為R=1Ω的電動(dòng)機(jī)相連，同時(shí)用此電動(dòng)機(jī)將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導(dǎo)體棒EF從靜止向上拉起（不計(jì)電動(dòng)機(jī)的摩擦損耗），測(cè)得矩形線圈中形成的電流有效值為I=1A．已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量m=0.5kg，U型金屬框架寬L=$\sqrt{5}$m且足夠長(zhǎng)，空間存在垂直框架平面磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)導(dǎo)體棒上升的時(shí)間t₀＞1s時(shí)其速度恰好穩(wěn)定，棒有效電阻R₀=4Ω，金屬框架的總電阻r₀=1Ω并認(rèn)為不變．棒與金屬框架接觸良好，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度；
（2）若0～1s時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，并已知1s時(shí)間內(nèi)上升高度為h=1m，求1s時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度．
（3）若豎直光滑U型金屬框架不固定地靠在豎直墻壁上，其下端置于水平地面上，金屬框架質(zhì)量M=1kg，問(wèn)當(dāng)矩形線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω取何值時(shí)，被拉導(dǎo)棒速度穩(wěn)定后矩形線圈中的電流I₀=2A，且豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零？

Answer 1

分析 （1）由交流電產(chǎn)生的原理求出線圈中產(chǎn)生的最大電動(dòng)勢(shì)及其有效值，然后由又變壓器的關(guān)系公式求出電動(dòng)機(jī)兩端的電壓與電動(dòng)機(jī)的輸出功率；最后結(jié)合導(dǎo)體棒切割磁感線的功能轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可求出導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度；
（2）導(dǎo)體棒向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)做的功轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能、棒的勢(shì)能以及線框與棒中產(chǎn)生的內(nèi)能，由此即可求出棒的速度；
（3）對(duì)導(dǎo)體框進(jìn)行受力分析，求出導(dǎo)體框受到的安培力，由F=BIL求出線框中的電流，由閉合電路的歐姆定律求出棒中的電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv求出棒的速度，由P=Fv求出電動(dòng)機(jī)的輸出功率，最后結(jié)合變壓器的匝數(shù)比以及交流電的產(chǎn)生，求出矩形線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

解答 解：（1）線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的最大電動(dòng)勢(shì)：${E}_{m1}=NB{L}_{1}{L}_{2}ω=100×0.01×\sqrt{2}×1×10=10\sqrt{2}$V
線圈中的電動(dòng)勢(shì)的有效值：${E}_{1}=\frac{{E}_{m1}}{\sqrt{2}}=10$V
線圈輸出的功率：P₁=E₁I₁=10×1=10W
電動(dòng)機(jī)上的電壓：${U}_{1}=\frac{{E}_{1}}{k}=\frac{10}{2}=5$V
電動(dòng)機(jī)上的電流：${I}_{1}′=\frac{{P}_{1}}{{U}_{1}}=\frac{10}{5}=2$A
電動(dòng)機(jī)的輸出功率：${P}_{出}={P}_{1}-I{′}_{1}^{2}R=10-{2}^{2}×1=6$W
當(dāng)導(dǎo)體棒向上的勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E₂=B₀Lv₁
感應(yīng)電流：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
導(dǎo)體棒受到的安培力：${F}_{1}={B}_{0}{I}_{2}L=\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，繩子的拉力等于重力與安培力的和，即：F=F₁+mg
繩子拉力的功率等于電動(dòng)機(jī)的輸出的功率，即：P_出=Fv₁
聯(lián)立得：v₁=1m/s
（2）若0～1s時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，由于導(dǎo)體棒與線框中的電流是相等的，由：Q=I²Rt可得：
$Q′=\frac{{r}_{0}}{{R}_{0}}Q=\frac{1}{4}×0.75=0.1875$J
導(dǎo)體棒向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)做的功轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能、棒的勢(shì)能以及線框與棒中產(chǎn)生的內(nèi)能．即：
${P}_{出}t=mgh+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+Q+Q′$
代入數(shù)據(jù)得：v₂=0.5m/s
（3）豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零時(shí)，框架的下邊受到的安培力：
B₀I₃L=Mg
電路中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E₃=B₀Lv₃
所以電路中的電流：${I}_{3}=\frac{{E}_{3}}{{R}_{0}+{r}_{0}}$
所以：${v}_{3}=\frac{Mg（{R}_{0}+{r}_{0}）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}=\frac{1×10×（4+1）}{{1}^{2}×（\sqrt{5}）^{2}}=10$m/s
EF達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，受到的拉力等于受到的安培力與重力的和，即：F′=mg+B₀I₃L
代入數(shù)據(jù)得：F′=15N
所以拉力的功率，即電動(dòng)機(jī)的輸出功率：P_出′=F′v₃=15×10=150W
此時(shí)矩形線圈中的電流I₀=2A，則流過(guò)電動(dòng)機(jī)的電流：I₄=kI₀=2×2=4A
電動(dòng)機(jī)的輸入功率：${P}_{2}′={I}_{4}^{2}R+{P}_{出}′={4}^{2}×1+150=166$W
由于電動(dòng)機(jī)的輸入功率等于矩形線圈的輸出功率，所以矩形線圈的輸出功率為：P₂=166W，
又：P₂=E₀•I₀
則：${E}_{0}=\frac{{P}_{2}}{{I}_{0}}=\frac{166}{2}=84$V
該電動(dòng)勢(shì)是有效電動(dòng)勢(shì)，則最大電動(dòng)勢(shì)：${E}_{2m}=\sqrt{2}{E}_{2}$
又：E_2m=NBL₁L₂ω′
所以：$ω′=\frac{{E}_{2m}}{NB{L}_{1}{L}_{2}}=\frac{84\sqrt{2}}{100×0.01×1×\sqrt{2}}=84$rad/s
答：（1）導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度1m/s；
（2）若0～1s時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.75J，并已知1s時(shí)間內(nèi)上升高度為h=1m，1s時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度是0.5m/s．
（3）當(dāng)矩形線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω取 84rad/s時(shí)，豎直光滑U型金屬框架與水平地面間作用力剛好為零．

點(diǎn)評(píng) 該題將恒定電流與閉合電路的歐姆定律、電磁感應(yīng)定律的綜合應(yīng)用、交流電的有效值與最大值結(jié)合在一起，涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，物理過(guò)程多，物理量多、公式多、屬于難度變態(tài)的題目，做這一類的題目要有足夠的耐心與信心．