Question

13．如圖所示，間距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌，水平地放置在豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，一端接阻值是R的電阻，一電阻為r，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上，在外力F作用下從t=0時刻開始運(yùn)動，其速度隨時間的變化規(guī)律：v=v_msinωt，不計導(dǎo)軌電阻．求：
（1）電阻R的電功率．
（2）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內(nèi)外力所做的功．
（3）若在R的兩端接上電壓傳感器，請你把該電壓傳感器上電壓的形狀用數(shù)學(xué)函數(shù)式表示出來．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應(yīng)電動勢公式E=BLv求得感應(yīng)電動勢瞬時值表達(dá)式，可知棒中產(chǎn)生正弦式電流，根據(jù)感應(yīng)電動勢最大值E_m，求出感應(yīng)電動勢的有效值，再由歐姆定律求出電流的有效值，再由公式P=I²R求R的電功率．
（2）根據(jù)動能定理研究從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內(nèi)外力F所做的功．其中克服安培力做功大小等于電路中產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)串聯(lián)電路分壓規(guī)律得到該電壓傳感器上的數(shù)學(xué)函數(shù)式．

解答 解：（1）從t=0開始運(yùn)動，棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：
  e=BLv=BLv_msinωt，是正弦式交變電流
感應(yīng)電動勢最大值為：E_m=BLv_m
其有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m
感應(yīng)電流的有效值：I=$\frac{E}{R+r}$
電阻R的電功率為 P=I²R
聯(lián)立以上各式解得 P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R{v}_{m}^{2}}{2（R+r）^{2}}$
（2）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內(nèi)，根據(jù)動能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv_m²+I²（R+r）t
聯(lián)立得：外力F所做的功 W=$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$
（3）該電壓傳感器上電壓的數(shù)學(xué)函數(shù)式 u=$\frac{R}{R+r}$e=$\frac{R}{R+r}$BLv_msinωt
答：（1）電阻R的電功率為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R{v}_{m}^{2}}{2（R+r）^{2}}$．
（2）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時間內(nèi)外力所做的功為$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$．
（3）該電壓傳感器上電壓的數(shù)學(xué)函數(shù)式為 u=$\frac{R}{R+r}$BLv_msinωt．

點(diǎn)評 本題是產(chǎn)生正弦式電流的一種方式，要能夠把電磁感應(yīng)和動能定理結(jié)合解決問題．知道正弦交變電流產(chǎn)生熱量必須用有效值來求．