Question

20．如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質(zhì)量分別為m、3m（β為待定系數(shù)）．A球從左邊與圓心等高處由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，重力加速度為g．試求：
（Ⅰ）第一次碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度各為多少？
（Ⅱ）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（Ⅱ）兩小球碰撞后動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，AB兩球上升后機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及動(dòng)量守恒定律即可求解．

解答 解：（Ⅰ） 由機(jī)械能守恒定律知，第一次碰撞前A的速度為${v}_{1}=\sqrt{2gR}$設(shè)A、B第一次碰撞后的速度大小分別為v₁′、vv₂′，
mv₁=mv₁′+3mv₂′
$mgR=\frac{1}{2}m{v′}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•3m{v′}_{2}^{2}$
解得${v}_{1}′=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，向左
${v}_{2}′=\sqrt{\frac{gR}{2}}$向右
由 $\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}=mgh′$  得${h}_{1}′=\frac{R}{4}$
同理，${h}_{2}′=\frac{R}{4}$
（Ⅱ）設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為V₁、V₂，則：
mv₁′-3mv₂′=mV₁+3mV₂
$mgR=\frac{1}{2}m{V}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•3m{V}_{2}^{2}$
解得${V}_{1}=-\sqrt{2gR}$，V₂=0
（另一組解：${V}_{1}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，${V}_{2}=-\sqrt{\frac{gR}{2}}$不合題意，舍去）
由此可得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同．
答：（Ⅰ）第一次碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度都是$\frac{R}{4}$；
（Ⅱ）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)A的速度是$-\sqrt{2gR}$，B的速度是0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同，分別為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$向左，$\sqrt{\frac{gR}{2}}$向右；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同，A的速度是$-\sqrt{2gR}$，B的速度是0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律及動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，把握運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，分別對(duì)相應(yīng)的過(guò)程列出動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒的表達(dá)式即可．難度適中．