Question

12．火星將成為我國(guó)深空探測(cè)的第二顆星球，假設(shè)火星探測(cè)器在著陸前，繞火星表面勻速飛行（不計(jì)周圍其他天體的影響），宇航員測(cè)出飛行N圈用時(shí)t，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，火星的半徑為r，地球表面重力加速度為g，則（　　）

• A． 火星探測(cè)器勻速飛行的速度約為$\frac{2πNR}{t}$
• B． 火星的平均密度約為$\frac{3πM{N}^{2}}{g{R}^{2}{t}^{2}}$
• C． 火星探測(cè)器的質(zhì)量約為$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{r}^{3}}{g{R}^{2}{t}^{2}}$
• D． 火星探測(cè)器勻速飛行的向心加速度約為$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}r}{{t}^{2}}$

Answer 1

分析 火星探測(cè)器在火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)線速度的定義求解線速度大小，根據(jù)向心加速度公式求解加速度，根據(jù)牛頓第二定律列式求解質(zhì)量，在結(jié)合密度的定義公式求解密度

解答 解：A、飛行N圈用時(shí)t，故速度為；$v=\frac{s}{t}=\frac{N（2πr）}{t}=\frac{2πNr}{t}$，故A錯(cuò)誤．
B、探測(cè)器受到的萬有引力提供向心力$G\frac{M′m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，周期$T=\frac{t}{N}$，又由于$M′=ρ\frac{4}{3}π{r}_{\;}^{3}$，故火星的平均密度為：$ρ=\frac{3π{N}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
在地球表面$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$G=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{M}$
代入上式得$ρ=\frac{3πM{N}_{\;}^{2}}{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}$，故B正確．
C、探測(cè)器受到的萬有引力提供向心力，故$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，等式兩邊的質(zhì)量m約去了，無法求解探測(cè)器的質(zhì)量m，故C錯(cuò)誤．
D、火星探測(cè)器勻速圓周飛行的向心加速度為$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}r}{{t}_{\;}^{2}}$，故D正確
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)條件，然后根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解火星質(zhì)量和密度，基礎(chǔ)題目