Question

17．如圖所示，是運(yùn)載火箭發(fā)射飛船的示意圖，飛船由運(yùn)載火箭先送人近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道，在B點(diǎn)實(shí)施變軌后，再進(jìn)入預(yù)定圓軌道，已知近地點(diǎn)A距地面高度為h₁，飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）地球的第一宇宙速度大��；
（2）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大��；
（3）遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度h₂大�。�

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力計(jì)算即可；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求飛船在近地點(diǎn)A處的加速度大�。�
（3）求得飛船在B上運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得距地面高度．

解答 解：（1）繞地球表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…①
在地球表面有重力與萬(wàn)有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…②
由①②兩式解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力和牛頓第二定律可得：$G\frac{mM}{（R+{h}_{1}）^{2}}=m{a}_{A}$…③
由②③兩式解得：a_A=$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$
（3）在大圓軌道上，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得：
在大圓軌道上衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)n圈所用時(shí)間為t，可得在該軌道上運(yùn)動(dòng)的周期我：T=$\frac{t}{n}$…④
根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…⑤
由②④⑤式可解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）地球的第一宇宙速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$；
（3）遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度h₂大小為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 解問(wèn)題的關(guān)鍵入手點(diǎn)有二：一是地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，不難屬于基礎(chǔ)知識(shí)考查．